החוג למתמטיקה
מכללה ירושלים

חיפוש מתקדם








     בעיות הספק ותמיסה
 
שאלה זו נעולה לכתיבה, וניתנת לצפייה בלבד
 
בעיות הספק ותמיסה
noa
24/08/2010 15:13:53

יש לי מספר שאלת, אודה לכם אם תוכלו לעזור לי לפתור אותם:

1. מיכל מתמלא ע"י שני ברזים במשך 6 שעות. אם הברז הראשון פתוח למשך הזמן הדרוש לברז השני למלא מחצית מהמיכל והברז השני פתוח למשך הזמן הדרוש לברז האשון למלא שליש מהמיכל אז הם ממלאים ביחד 5/6 מהמיכל. מצא בכמה זמן יכול כל ברז למלא לבד את המיכל?

2. שני פועלים היו צריכים לבצא עבודה מסויימת. תחילה עבד הפועל הראשון לבדו במשך שעה, אחר כך הצטרף אליו הפועל השני וכעבור עוד שעתיים הם סיימו 45% מהעבודה. לאחר מכן הם המשיכו ביחד וסיימו את העבודה. אחרי גמר העבודה התברר שכל אחד מהפועלים ביצע מחצית מהעבודה. מצא בכמה שעות יכול כל פועל לבצע לבד את העבודה.

3. שתי קבוצות ביצעו עבודה מסויימת בסה"כ ב-29 יום. תחילה עבדה הקבוצה הראשונה לבדה וביצעה 1/3 מהעבודה, לאחר מכן היא הפסיקה והקבוצה השניה החלה לעבוד וביצעה לבדה עוד 1/6 מהעבודה. בשלב זה הקבוצה הראשונה חזרה שוב לעבוד והם סיימ ביחד את העבודה שנותרה ב- 9 ימים. מצא בכמה ימים יכלה כל קבוצה לבצעה לבד את העבודה.

4. מכלי שהכיל תמיסת כוהל בריכוז של 90% הוציאו 5 ליטר והכניסו במקומם 5 ליטר מתמיבת כוהל שריכוזה 60%. לאחר מכן שוב הוציאו 5 ליטר מהתערובת שהתקבלה והוסיפו במקומה 5 ליטר מתמיסת כוהל שריכוזה 50%. ריכוז הכוהל בתמיסה שהתקבלה לבסוף היה 70%. מצא את כמות התמיסה שהיתה בכלי.

 

רשימת התגובותמחברתאריך
     תגובה: בעיות הספק ותמיסהnoa24/08 16:32:07
     שאלה 2צוות האתר25/08 09:30:35
     שאלה 3צוות האתר25/08 09:56:35
     שאלה 4צוות האתר25/08 10:12:48
שאלה 1צוות האתר25/08 10:36:43


 
תגובה: בעיות הספק ותמיסה
noa
24/08/2010 16:32:07

אודה לכם אם תוכלו לעזור לי לפתור את התרגילים האלה בהקדם עד תחילת הלימודים (:

תודה! (:

 
שאלה 2
צוות האתר
25/08/2010 09:30:35

את ההספק (קצב העבודה) של פועל א' נסמן ב- x ושל פועל ב' נסמן ב- y.

את הנתונים נסדר בטבלה (t הוא משתנה שעות לא ידוע).

  זמן הספק סה"כ עבודה
 פועל א'

 3

 x

 
 פועל ב'

 2

 y

 
 פועל א'

 t

 x

 
 פועל ב'

 t

 y

 

פועל א' עבד לבדו שעה ואז הצטרף אליו פועל ב' והם עבדו ככה שעתיים, אז פועל ב' עבד שעתיים ופועל א' עבד 3 שעות, ורק לאחר מכן הגיע הזמן ששניהם עבדו יחד t שעות לא ידועות.

לפי הנוסחה: סה"כ = הספק * זמן, מקבלים:

  זמן הספק סה"כ עבודה
 פועל א'

 3

 x

 3x

 פועל ב'

 2

 y

 2y

 פועל א'

 t

 x

 tx

 פועל ב'

 t

 y

 ty

אז לאחר שפועל א' עבד 3 שעות ופועל ב' עבד שעתיים, הסתבר שיחד הם סיימו 45% מהעבודה, כלומר:

(1)   3x+2y = 0.45

לאחר גמר העבודה כולה, הסתבר שכל אחד מהפועלים ביצע בדיוק מחצית מהעבודה, כלומר:

(2)   3x+tx = 0.5

(3)   2y+ty = 0.5

אז התקבלה מערכת של 3 משוואות ב- 3 משתנים אותה יש לפתור.

(2)   3x+tx = 0.5

(3+t)x = 0.5

x = 0.5/(3+t)

(3)   2y+ty = 0.5

(2+t)y = 0.5

y = 0.5/(2+t)

(1)   3x+2y = 0.45

3x+2y = 0.45                                        / x = 0.5/(3+t), y = 0.5/(2+t)

3•0.5/(3+t)+2•0.5/(2+t) = 0.45

1.5/(3+t)+1/(2+t) = 0.45

1.5(2+t)+(3+t) = 0.45(3+t)(2+t)

3+1.5t+3+t = 2.7+2.25t+0.45t2

0.45t2-0.25t-3.3 = 0

t1 = 3, t2 = -2.444

אבל t מסמן זמן בשעות ולכן אינו יכול להיות שלילי, ולכן t = 3.

נציב חזרה ונקבל:

x = 0.5/(3+t) = 0.5/(3+3) = 0.5/6 = 1/12

y = 0.5/(2+t) = 0.5/(2+3) = 0.5/5 = 0.1

אז מצאנו את קצב העבודה. העבודה כולה = 1, ולכן:

  זמן הספק סה"כ עבודה
 פועל א'

 

 1/12

 1

 פועל ב'

 

 0.1

 1

לפי הנוסחה: סה"כ = הספק * זמן, מקבלים:

  זמן הספק סה"כ עבודה
 פועל א'

12

 1/12

 1

 פועל ב'

10

 0.1

 1

אז פועל א' מבצע לבדו את העבודה ב- 12 שעות ופועל ב' מבצע לבדו את העבודה ב- 10 שעות.

 
שאלה 3
צוות האתר
25/08/2010 09:56:35

למרות שמדובר בקבוצות, מכיוון שלא נתונים לנו מספר פועלים, אלא את ביצועי העבודה של כל קבוצה, מתייחסים לכל קבוצה כאל יחידה אחת.

את הספק העבודה של קבוצה א' נסמן ב- x ושל קבוצה ב' ב- y. את הנתונים נארגן בטבלה:

  זמן הספק סה"כ עבודה
 קבוצה א' - לבד 

 x

 ⅓

 קבוצה ב' - לבד 

 y

 1/6

לפי הנוסחה: סה"כ עבודה = הספק * זמן, מקבלים:

  זמן הספק סה"כ עבודה
 קבוצה א' - לבד

 1/3x

 x

 ⅓

 קבוצה ב' - לבד

 1/6y

 y

 1/6

אבל סה"כ העבודה נמשכה 29 יום, אז ב- 20 ימים הם עשו (יחד) את חלקי העבודה הזו.

1/3x+1/6y = 20

2y+x = 120xy

2y = 120xy-x

2y = (120y-1)x

x = 2y/(120y-1)

אז נציב חזרה עבור 9 ימים (תשעת הימים בהם עבדו יחדיו):

  זמן הספק סה"כ עבודה
 קבוצה א' - לבד

 9

 2y/(120y-1)

 

 קבוצה ב' - לבד

 9

 y

 

לפי הנוסחה: סה"כ עבודה = הספק * זמן, מקבלים:

  זמן הספק סה"כ עבודה
 קבוצה א' - לבד

 9

 2y/(120y-1)

18y/(120y-1)

 קבוצה ב' - לבד

 9

 y

9y

וב- 9 ימים אלו, הם סיימו את העבודה, כלומר עשו את מה שנשאר:

18y/(120y-1)+9y = 1-⅓-1/6

18y/(120y-1)+9y = ½

36y+18y(120y-1) = 120y-1

36y+2160y2-18y = 120y-1

2160y2-102y+1 = 0

y1 = 1/30, y2 = 1/72

x1 = 1/45, x2 = 1/10

אז קבוצה א' יכולה לסיים את העבודה לבד ב- 45 יום וקבוצה ב' ב- 30 יום.

או שקבוצה א' יכולה לסיים לבד את העבודה ב- 10 ימים, וקבוצה ב' ב- 72 יום.

 
שאלה 4
צוות האתר
25/08/2010 10:12:48

ראשית חייבים להבין כי ריכוז הוא יחס. בתמיסת כוהל למשל מדובר ביחס בין כמות הכוהל לבין סה"כ כמות התמיסה. כך למשל אם בתמיסה יש 50 ליטרים, ומתוכה 10 ליטרים הם כוהל נקי, אז ריכוז התמיסה היא:

10/50 = 0.2 = 20%


אז יש לנו כלי עם x ליטרים של תמיסת כוהל בריכוז של 90%, לכן 0.9x ליטרים הם כוהל נקי ו- 0.1x ליטרים הם מים. כעת נבדוק את הנעשה:

 

 סה"כ תמיסה (ליטרים)

 ריכוז הכוהל

 סה"כ כוהל נקי

 סה"כ מים נקיים

 מצב התחלתי

 x

 90%

 0.9x

 0.1x

 הוצאת 5 ליטרים    
 הוספת 5 ליטרים 60%    
 הוצאת 5 ליטרים    
 הוספת 5 ליטרים 50%    

אז כעת מוציאים 5 ליטרים. מתוכם 90% הם כוהל נקי - כלומר 4.5 ליטרים, והשאר מים נקיים, אז:

 

 סה"כ תמיסה (ליטרים)

 ריכוז הכוהל

 סה"כ כוהל נקי

 סה"כ מים נקיים

 מצב התחלתי

 x

 90%

 0.9x

 0.1x

 הוצאת 5 ליטרים

 x-5

 

 0.9x-4.5

 0.1x-0.5

 הוספת 5 ליטרים 60%    
 הוצאת 5 ליטרים    
 הוספת 5 ליטרים 50%    

ומוסיפים 5 ליטרים של תמיסה בריכוז 60%, כלומר 60% מתוך 5 הליטרים הללו הם כוהל נקי, כלומר 3 ליטרים, והשאר מים נקיים, אז:

 

 סה"כ תמיסה (ליטרים)

 ריכוז הכוהל

 סה"כ כוהל נקי

 סה"כ מים נקיים

 מצב התחלתי

 x

 90%

 0.9x

 0.1x

 הוצאת 5 ליטרים

 x-5

 

 0.9x-4.5

 0.1x-0.5

 הוספת 5 ליטרים 60%

 x

 

 0.9x-4.5+3 = 0.9x-1.5

 0.1x-0.5+2 = 0.1x+1.5

 הוצאת 5 ליטרים    
 הוספת 5 ליטרים 50%    

זה הזמן לחשב את ריכוז הכוהל.

(0.9x-1.5)/x

ועכשיו שוב מוצאים 5 ליטרים, הכמות של הכוהל הנקי שהוצאה תלוי כמובן בריכוז שלנו:

5•(0.9x-1.5)/x = (4.5x-7.5)/x

ולכן:

 

 סה"כ תמיסה (ליטרים)

 ריכוז הכוהל

 כוהל נקי

 מים נקיים

 מצב התחלתי

 x

 90%

 0.9x

 0.1x

 הוצאת 5 ליטרים

 x-5

 

 0.9x-4.5

 0.1x-0.5

 הוספת 5 ליטרים 60%

 x

 (4.5x-7.5)/x

 0.9x-4.5+3 = 0.9x-1.5

 0.1x-0.5+2 = 0.1x+1.5

 הוצאת 5 ליטרים

 x-5

 

 0.9x-1.5-(4.5x-7.5)/x

 
 הוספת 5 ליטרים 50%    

ומוסיפים 5 ליטרים של תמיסה בריכוז 50%, כלומר 2.5 ליטרים הם כוהל נקי.

 

 סה"כ תמיסה (ליטרים)

 ריכוז הכוהל

 כוהל נקי

 מים נקיים

 מצב התחלתי

 x

 90%

 0.9x

 0.1x

 הוצאת 5 ליטרים

 x-5

 

 0.9x-4.5

 0.1x-0.5

 הוספת 5 ליטרים 60%

 x

 (4.5x-7.5)/x

 0.9x-4.5+3 = 0.9x-1.5

 0.1x-0.5+2 = 0.1x+1.5

 הוצאת 5 ליטרים

 x-5

 

 0.9x-1.5-(4.5x-7.5)/x

 
 הוספת 5 ליטרים 50%

 x

 

 0.9x-1.5-(4.5x-7.5)/x+2.5

 

אז נחשב את הריכוז עכשיו (שהוא הריכוז הסופי) ונתון שהוא שווה ל- 70%.

[0.9x-1.5-(4.5x-7.5)/x+2.5]/x = 0.7

0.9x-1.5-(4.5x-7.5)/x+2.5 = 0.7x

0.2x+1-(4.5x-7.5)/x = 0

0.2x2+x-(4.5x-7.5) = 0

0.2x2+x-4.5x+7.5 = 0

0.2x2-3.5x+7.5 = 0

x1 = 15, x2 = 2.5

אבל לא יתכן שהכמות ההתחלתית תהיה 2.5 ליטרים מכיוון שאז לא ניתן להוציא 5 ליטרים ממנה.

לכן הכמות ההתחלתית היא 15 ליטרים.

 
שאלה 1
צוות האתר
25/08/2010 10:36:43

את ההספק של ברז א' נסמן ב- x ושל ברז ב' נסמן ב- y.

נבדוק כמה זמן לוקח לברז א' למלא ⅓ מיכל ולברז ב' למלא ½ מיכל:

  זמן הספק סה"כ
 ברז א' 

 x

 ⅓

 ברז ב' 

 y

 ½

לפי הנוסחה: סה"כ = הספק * זמן, מקבלים:

  זמן הספק סה"כ
 ברז א'

 1/3x

 x

 ⅓

 ברז ב'

 1/2y

 y

 ½

נתון כי המיכל מתמלא ע"י שני ברזים במשך 6 שעות. כמו כן, אם ברז א' פתוח למשך הזמן הדרוש לברז ב' למלא חצי מיכל וברז ב' פתוח למשך הזמן הדרוש לברז א' למלא שליש מיכל אז הם ממלאים ביחד 5/6 מהמיכל. לכן:

  זמן הספק סה"כ
 ברז א'

 6

 x

 
 ברז ב'

 6

 y

 
 ברז א'

 1/2y

 x

 
 ברז ב'

 1/3x

 y

 

לפי הנוסחה: סה"כ = הספק * זמן, מקבלים:

  זמן הספק סה"כ
 ברז א'

 6

 x

 6x

 ברז ב'

 6

 y

 6y

 ברז א'

 1/2y

 x

 x/2y

 ברז ב'

 1/3x

 y

 y/3x

ולפי הנתונים מתקיים:

(1)   6x+6y = 1

(2)   x/2y+y/3x = 5/6

אז התקבלה מערכת של 2 משוואות ב- 2 נעלמים אותה יש לפתור:

(1)   6x+6y = 1

x+y = 1/6

x = 1/6-y

(2)   x/2y+y/3x = 5/6

3x2+2y2 = 5xy                                / x = 1/6-y

3(1/6-y)2+2y2 = 5(1/6-y)y

3(1/36-⅓y+y2)+2y2 = (5/6-5y)y

1/12-y+3y2+2y2 = 5y/6-5y2

1/12-y+10y2 = 5y/6

1-12y+120y2 = 10y

120y2-22y+1 = 0

y1 = 1/10, y2 = 1/12

x1 = 1/15, x2 = 1/12

אז ברז א' ממלא מיכל לבדו ב- 10 שעות וברז ב' ממלא מיכל לבדו ב- 15 שעות, או

ברז א' ממלא מיכל לבדו ב- 12 שעות וברז ב' ממלא מיכל לבדו ב- 12 שעות.