החוג למתמטיקה
מכללה ירושלים

חיפוש מתקדם








     טריגונומטריה- משפט הסינוסים
 
 
טריגונומטריה- משפט הסינוסים
נוי
04/02/2008 18:30:42

1

a ו-b הן שתים מצלעותיו של משולש ABC.

R הוא רדיוס מעגל החוסם את המשולש. נתון

a/R=3/2

b/R=5/3

א)חשב את זוייותיו של המשולש אם נתון שהוא קהה זווית.

ב) נתון שאם המשולש הוא חד זווית אז שטחו הוא 20 סמ"ר. חשב את שטח המשולש אם נתון שהוא קהה זווית

2

abcd= מרובע חסום במעגל. נתון ש-ab=9, ac=13, cd=6

acb=40>. זוית abc= זוית קהה.

חשב את bd ואת שטח המרובע abcd.

 

3.

AD הוא חוצה זוית BAC במשולש ABC. נתון:

C=α>

  B= β>

נסמן AC=b הוכח כי -מצורף קובץ אם מה שצריך להוכיחץ

תודה מראש- נוי

 

 

קבצים מקושרים:




הוספת תגובה
רשימת התגובותמחברתאריך
     שאלה 1 סעיף א'דפנה05/02 10:47:15
     שאלה 2דפנה05/02 11:42:06
     שאלה 3דפנה05/02 11:59:55


 
שאלה 1 סעיף א'
דפנה
05/02/2008 10:47:15

נסמן את זוית A ב- α, זוית B ב- β וזוית C ב- 180 פחות α פחות β.

לפי משפט הסינוסים:

a/sinα = b/sinβ

וגם

a = 2Rsinα

b = 2Rsinβ

ונתון:

a/R = 3/2

b/R = 5/3

אז מתקיים:

a/R = 3/2   =>   2Rsinα/R = 3/2   =>   2sinα = 3/2   =>   sinα = 3/4   =>  

α1 = 48.59, α2 = 131.41

b/R = 5/3   =>   2Rsinβ/R = 5/3   =>   2sinβ = 5/3   =>   sinβ = 5/6   =>  

β1 = 56.44, β2 = 123.55

אם הפתרון הוא α2 אז יחד עם β1 יש לנו כבר יותר מ- 180 מעלות ובמשולש יש רק 180 מעלות, ולכן α2 נפסלת. עבור התשובות α1 ו- β1 נקבל כי גם הזוית השלישית חדה, אבל נתון לנו כי המשולש הוא קהה זוית.

לכן הפתרון חייב להיות: α = 48.59, β = 123.55 ולכן הזוית השלישית היא בת 7.89 מעלות.



הוספת תגובה
 
שאלה 2
דפנה
05/02/2008 11:42:06

כדאי שתציירי לעצמך את המרובע (אין צורך לחסום אותו במעגל). חשוב לדעת שבכל מרובע החסום במעגל מתקיים כי סכום כל זוג זויות נגדיות הוא 180 מעלות.

נתון לנו מרובע ABCD בו מתקיים: AB = 9, CD = 6, AC = 13. כמו כן גודל זוית ACB היא 40 מעלות. נסמן את זוית ABC ב- α מעלות, ולפי הנתון α > 90 ונסמן את זוית CADב- β מעלות.

אז לפי המשפט על מרובע חסום במשולש מתקיים כי זוית ADC היא בת 180 פחות α מעלות.

נסתכל על משולש ABC

לפי משפט הסינוסים מתקיים:

13/sinα = 9/sin40

13sin40/9 = sinα   =>   sinα = 0.928   =>   α1 = 68.197, α2 = 111.08

אך מכיוון שנתון לנו כי α > 90 אז נשאר עם התשובה α = 111.08 בלבד.

לכן זוית ADC היא בת 68.197 מעלות.

נסתכל על משולש ADC

לפי משפט הסינוסים מתקיים:

6/sinβ = 13/sin68.197

6sin68.197/13 = sinβ   =>   sinβ = 0.428   =>   β1 = 25.373, β2 = 154.626

אך אם התשובה הנכונה היא β2 אז יחד עם זוית ADC יש לנו במשולש יותר מ- 180 מעלות, ולכן אנחנו נשארים עם הפתרון β = 25.373.

בשלב זה נוכל כבר לחשב את כל זויות המרובע ונקבל כי הן:

<A = 54.293

<B = 111.08

<C = 125.707

<D = 68.197

יש לשים לב כי התוצאות לא מדויקות עקב שימוש ב- 3 ספרות אחרונות בלבד.

נסתכל על משולש ABC

לפי משפט הסינוסים מתקיים:

13/sinα = 9/sin40 = BC/sin(140-α)

13/sin111.08 = 9/sin40 = BC/sin(140-111.08)

13/sin111.08 = 9/sin40 = BC/sin28.92

14 = BC/sin28.92

BC = 6.77

נסתכל על משולש BCD

נסמן את זוית BDC ב- γ מעלות.אז זוית DBC היא בת 54.293 פחות γ מעלות.

לפי משפט הסינוסים מתקיים:

6.77/sinγ = 6/sin(54.293-γ)

6sinγ = 6.77sin(54.293-γ)

6sinγ = 6.77(sin54.293cosγ-cos54.293sinγ)

6sinγ = 6.77sin54.293cosγ-6.77cos54.293sinγ

6sinγ = 5.497cosγ-3.951sinγ

9.951sinγ = 5.497cosγ

tanγ = 0.552   =>   γ = 28.916

לפי משפט הקוסינוסים מתקיים:

6.77/sinγ = 6/sin(54.293-γ) = BD/sin125.707

6.77/sinγ = BD/sin125.707

6.77/sin28.916 = BD/sin125.707

BD = 11.37

זה היה תרגיל מאוד ארוך אז אני מקוה שאין לי שגיאת חישוב.

חישוב שטח משולש ניתן לעשות לפי הנוסחה: צלע * צלע * סינוס הזוית שבניהן / 2. אז שטח המרובע הוא סכום שטחי שני משולשים (בחרי לפי רצונך: ABC ו- ADC או לחילופין ABD ו- BCD). זויות יש לך, אז רק חסר לך למצוא את הצלע AD כפי שמצאנו את הצלע CB ולחשב.



הוספת תגובה
 
שאלה 3
דפנה
05/02/2008 11:59:55

זוהי דוקא השאלה הכי קלה שיש לך...

נתון משולש ABC ונתונות הזויות:

<C = α

<B = β

ומכיוון שבמשולש יש 180 מעלות, אז:

<A = 180-<B-<C = 180-α-β

ונתון כי AD חוצה את זוית A ולכן:

<BAD = <CAD = (<A)/2 = (180-α-β)/2 = 90-0.5α-0.5β

נסתכל על משולש ADC

ידועות לנו 2 זויות במשולש זה, ומכיוון שבמשולש יש 180 מעלות נקבל:

<ADC = 180-<C-<CAD = 180-α-(90-0.5α-0.5β) = 180-α-90+0.5α+0.5β =

= 90-0.5α+0.5β = 90+(-0.5α+0.5β) = 90+(0.5β-0.5α)

לפי משפט הסינוסים, במשולש זה מתקיים:

AD/sinα = AC/sin[90+(0.5β-0.5α)]

AD/sinα = b/sin[90+(0.5β-0.5α)]                                / sin(90+x) = cosx

AD/sinα = b/cos(0.5β-0.5α)

AD = bsinα/cos(0.5β-0.5α)



הוספת תגובה